Example translation 3

Las distribuciones biparabólica y piramidal

En el método PERT se pretende estimar la media y la varianza de una variable aleatoria de la que solo se conoce los valores a, m y b aportados por un experto y a la que se supone una distribución subyacente, Beta, para obtener la estimación de la media basta con exigir que la distribución beta sea mesocurtica y su varianza (distribución estandarizada) 1/36. Véase Kamburowski (1997) y Herrerías, García y Cruz (2003).

Si utilizamos como distribución subyacente la TSP para estimar el cuarto parámetro n, debemos imponer a la distribución alguna restricción, en García, Cruz y García (2005) se impone la condición de varianza constante o mesocurtica (similitud con la normal). De este modo el proceso es como sigue:

1. Dada una variable aleatoria x y conocidos los valores a, m y b se obtiene la variable t estandarizada con valores 0, M y 1.
2. Elegimos como distribución subyacente la distribución TSP o la BPG1.
3. Se impone la condición de varianza constante o mesocurtica y se determina n
4. Conocido n se puede estimar la media y la varianza. Es decir para cada valor de M habrá un único valor de n que permite estimar la media y la varianza.

Si imponemos al mismo tiempo que la distribución subyacente (TSP o BPG1) sea mesocurtica y de varianza constante, esto determina un único valor de n y de M, generalmente se toma el valor de n y se obtiene una formula llamada clásica en similitud con el PERT. A las estimaciones de la media y la varianza realizadas con estos valores de n y M se les llaman clásicos (en recuerdo del PERT clásico, ya que el valor k=4 se obtiene imponiendo a la beta ambas condiciones).

Los resultados del Test de Chow, 5.1., nos indican que las estimación obtenidas con la BPG1 de varianza constante y los obtenidos con la BPG1 mesocurtica proceden de la misma estructura, mientras que los obtenido a partir de la TSP de varianza constante y de la TSP mesocurtica proceden de estructuras distintas. En nuestra opinión esta da sentido, en el caso del BPG1, a imponer las dos condiciones simultáneamente, obteniendo un resultado que además de contar con un desarrollo analítico similar al del PERT clásico, tiene un apoyo econométrico ya que estamos imponiendo de forma simultanea (proceso analítico) dos condiciones (varianza constante y mesocurtica) que dan origen a estimaciones de la media que desde un punto de vista econométrico proceden de la misma estructura.

The biparabolic and pyramidal distributions

The PERT method aims to estimate the mean and the variance of a random variable, of which only the values a, m and b -supplied by an expert- are known, and for which an underlying Beta distribution is assumed. To obtain the estimate of the mean it is only required that this beta distribution be mesokurtic and that its variance (standardized distribution) be 1/36. See Kamburowski (1997) and Herrerías, García and Cruz (2003).

If we use the TSP as the underlying distribution, to estimate the fourth parameter n we should impose some restriction on the distribution. In García, Cruz and García (2005) either the condition of constant variance or that of mesokurtosis (similar to the normal) is imposed. In this way, the process is as follows:

1. Given a random variable x and knowing the values a, m and b we obtain the variable t, standardized with values 0, M and 1.
2. We select either the TSP or the BPG1 as the underlying distribution.
3. We impose either the condition of constant variance or mesokurtosis and we determine n.
4. Knowing n, we can estimate the mean and the variance. That is, for each value of M there will exist a unique value of n, which permits us to estimate the mean and the variance.

If, at the same time, we insist that the underlying distribution (TSP or BPG1) be mesokurtic and of constant variance (this determines a unique value of n and of M), then generally the value of n is taken and, similarly to PERT, a 'classical' formula is obtained. Those estimations of the mean and variance made using these values of n and M are named classical in reference to classical PERT, since the value k=4 is obtained by imposing both conditions on the beta.

The results of the Chow Test, 5.1., show us that the estimates obtained with the BPG1 of constant variance and those obtained with the mesokurtic BPG1 come from the same structure, whilst those obtained from the TSP of constant variance and the mesokurtic TSP come from different structures. In our opinion, and in the case of the BPG1, this supports the idea of imposing the two conditions at the same time. This would obtain a result which, as well as having an analytical development similar to that of classical PERT, would have econometric support since we are simultaneously (analytical process) imposing two conditions (constant variance and mesokurtosis) which provide estimates of the mean that, from an econometric point of view, come from the same structure.

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